Правильная вычислимость функций на машине тьюринга. Графическое представление Разветвление машин Тьюринга

Диаграмма имеет вид графа:

Табличное значение машины

Таблица 1

Некоторые операции над машинами Тьюринга

Работа машины Тьюринга полностью определяется исходными данными и системой команд. Однако для того, чтобы понять, как конкретная машина решает задачу, как правило, возникает необходимость в содержательных пояснениях типа тех, которые приводились для машины . Эти пояснения часто можно сделать более формальными и точными, если использовать блок-схемы и некоторые операции над машинами Тьюринга. Напомним, что композицией функций
и
называется функция
, которая получается при применениик результату вычисления. Для того, чтобы
была определена при данном, необходимо и достаточно, чтобыбыла определена на
, абыла определена на.

Теорема 1 . Если
и
вычислимы по Тьюрингу, то их композиция
также вычислима по Тьюрингу.

Пусть - машина, вычисляющая, а- машина, вычисляющая, и множество их состояний соответственно
и
.

Построим диаграмму переходов машины из диаграммиследующим образом: отождествим начальную вершину
диаграммы машиныс конечной вершиной
диаграммы машины(для систем команд это равносильно тому, что систему командприписываем к системе команди для этого
в командахзаменяем на
). Получим диаграмму с (
) состояниями. Начальным состояниемобъявим
и заключительным
. Для простоты обозначений будем считатьичисловыми функциями от одной переменной.

Пусть
определена. Тогда
и

. Машинапройдет ту же последовательность конфигураций с той разницей, что вместо
она пройдет в
. Эта конфигурация является стандартной начальной конфигурацией для машины, поэтому
. Но так как все командысодержатся в, то

и, следовательно,
. Если же
не определена, тоилине останавливается и, следовательно, машинане остановится. Итак, машинавычисляет
.

Построенную таким образом машину будем называть композицией машинии обозначать
(или()), а также изображать блок-схемой:

Композиция машин Тьюринга

Пусть ,,- три машины Тьюринга с одним и тем же внешним алфавитом
, с алфавитами внутренних состояний
,
,
и программами,
,
соответственно.

Композицией
машининазываетсямашина Т , программа которой есть объединение множеств
и

, где
обозначает множество команд, полученных иззаменой всехна.

Разветвление машин Тьюринга

Разветвлением машин ,,по
, символически

называетсямашина T , программа которой получается следующим образом: изисключаются команды
и
для
, полученное множество назовем; тогда.

Универсальная машина Тьюринга

Систему команд машины Тьюринга можно интерпретировать и как описание работы конкретного устройства и как программу, т.е. совокупность предписаний, однозначно приводящих к результату. При разборе примеров невольно принимается вторая интерпретация, т.е. мы выступаем в роли механизма, который способен воспроизвести работу любой машины Тьюринга. Уверенность в том, что все это будут делать одинаково (если не наделают ошибок, что, кстати, предполагается и при работе машины Тьюринга) - это по существу уверенность в существовании алгоритма воспроизведения работы машины Тьюринга по заданной программе, т.е. системе команд. Действительно, словесное описание такого алгоритма дать нетрудно. Его основное действие циклически повторяется и состоит в следующем: "Для текущей конфигурации
найти в системе команд команду с левой частью
. Если правая часть этой команды имеет вид
, то заменить в текущей конфигурации
на
(получается конфигурация
); если же правая часть имеет вид
, то заменить
на
. Словесное описание алгоритма может быть неточным и нуждается в формализации. Поскольку в качестве такой формализации понятия алгоритма сейчас обсуждается машина Тьюринга, то естественно поставить задачу построения машины Тьюринга, реализующей описанный алгоритм воспроизведения. Для машин Тьюринга, вычисляющих функции от одной переменной, формулировка этой задачи такова: построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию от двух переменных и такую, что для любой машиныс системой команд
, если
определена (т.е. если машинаостанавливается при исходных данных) и
не останавливается, если
не останавливается. Любую машину, обладающую указанным свойством, будем называтьуниверсальной машиной Тьюринга . Нетрудно обобщить эту формулировку на любое число переменных.

Первая проблема, возникающая при построении универсальной машины , связана с тем, чтокак и любая другая машина Тьюринга, должна иметь фиксированный алфавит
и фиксированное множество состояний
. Поэтому систему команд
и исходные данные произвольной машинынельзя просто переносить на ленту машины(всегда найдется машина, алфавиты
и
которой превосходят по мощности
и
или просто не совпадают с ним).

Выход заключается в том, чтобы символы из
и
кодировались символами в алфавите
. Пусть
,
. Будем всегда считать, что
и
(эти два символа всегда есть в алфавите любой машины, работающей с числами). Обозначим кодыичерез
и
и определим их как
; для любого другого
; для заключительного состояния

, если

. Код
для данной машинывсегда имеет длину (формат)
, а код
- формат. Символы ,
введем в
, т.е.
,
,
. Код символа, образованный кодами символов, составляющих это слово, обозначим
. Таким образом, окончательное уточнение постановки задачи об универсальной машинесводится к тому, что для любой машиныи словаалфавита
.

Существование универсальной машины Тьюринга означает, что систему команд
любой машиныможно интерпретировать двояким образом: либо как описание работы исходного устройства, либо как программу для универсальной машины. Для современного инженера, проектирующего систему управления, это обстоятельство естественно. Он хорошо знает, что любой алгоритм управления может быть реализован либо аппаратурно - построением соответствующей схемы, либо программно - написанием программы универсальной управляющей ЭВМ.

Однако важно сознавать, что идея универсального алгоритмического устройства совершенно не связана с развитием современных технических средств его реализации (электроники, физики твердого тела и т.д.) и является не техническим, а математическим фактом, описывающим в абстрактных математических терминах, не зависящих от технических средств, и к тому же опирающемся на крайне малое количество весьма элементарных исходных понятий. Характерно, что основополагающие работы по теории алгоритмов (в частности, работы Тьюринга) появились в 30-х годах, до создания современных ЭВМ.

Указанная двоякая интерпретация сохраняет на абстрактном уровне основные плюсы и минусы двух вариантов инженерной реализации. Конкретная машина работает гораздо быстрее; кроме того управляющее устройство машиныдовольно громоздко (т.е. велико число состояний и команд). Однако его величина постоянна и будучи раз построена она годится для реализации сколь угодно больших алгоритмов. Необходим лишь большой объем ленты, которую естественно считать более дешевой и более просто устроенной, чем управляющее устройство. Кроме того, при смене алгоритма не понадобится строить новых устройств, нужно лишь написать новую программу.

Машина Тьюринга (МТ) - абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина).

Сочетания алгоритмов - это название, установившееся за рядом конкретных способов конструирования новых алгоритмов из нескольких заданных.

Теоремы о сочетаниях алгоритмов составляют важный раздел общей теории алгоритмов. Будучи доказанными однажды, они позволяют в дальнейшем убеждаться в осуществимости сложных и громоздких алгоритмов без фактического выписывания определяющих их схем.

Сочетания алгоритмов для машины Тьюринга описываются операциями над машинами Тьюринга.

1. Операция композиции.

Пусть M 1 и M 2 - машины Тьюринга, имеющие одинаковый внешний алфавит A« {a 0 ,a 1 ,...,a p }. Обозначим множества их состояний соответственно Q1 « {q 0 ,q 1 ,...,q n } и Q2 « {q 0" ,q 1" ,...,q m" }.

Определение.

Композицией машин M 1 и M 2 называют машину, обозначаемую M=M 1 ×M 2 , программа которой имеет алфавит A, множество состояний Q« {q 0 ,q 1 ,...,q n ,q n+1 ,...,q n+m } и получается из программ машин M 1 и M 2 следующим образом: везде в программе машины M 1 , где встречаются "тройки" с символом q 1 (заключительное состояние машины M 1), он заменяется на символ q 0" (начальное состояние машины M 2); все остальные символы в программах машин M 1 и M 2 остаются неизменными (в завершение остаётся перенумеровать все состояния машины M: {q 0 ,q 1" ,q 2 ,...,q n ,q 0" ,q 2" ,...,q m" }).

Композиция начинает "работать" как машина M 1 , но в тех случаях, когда машина M 1 должна остановиться, происходит переключение на программу машины M 2 , вследствие замены q 1 на q 0" . Очевидно, что операция композиции ассоциативна, но не коммутативна.

Её работа равносильна последовательной работе машин T1 и T2 .

На рисунке изображена композиция машин Тьюринга, реализующая оператор суперпозиции для n=1 и m=1.

Рисунок 1.

Определение.

Итерацией машины Тьюринга M будем называть машину

2. Операция ветвления.

Пусть M 1 , M 2 и M 3 - машины Тьюринга, имеющие одинаковый внешний алфавит A« {a 0 ,a 1 ,...,a i ,...,a j ,...,a p } и, соответственно, множества состояний: Q1 « {q 0 ,q 1 ,...,q n }, Q2 « {q 0" ,q 1" ,...,q m" }, Q3 « {q 0", q 1" ,...,q l" }.

Определение.

Результатом операции ветвления над машинами Тьюринга M 1 , M 2 и M3 называется машина Тьюринга M, программа которой получается из программ машин M 1 ,M 2 и M 3 следующим образом: записана программа машины M1 , затем приписаны программы машины M 2 и M 3 . Если в заключительном состоянии q 1 машины M1 наблюдается символ a i , то управление передается на машину M 2 , т.е. символ q 1 заменяется символом q 0" и начинает работать машина M 2 . Если же в заключительном состоянии q 1 машины M 1 наблюдается символ a j , то управление передается на машину M 3 , т.е. символ q 1 заменяется символом q 0" и начинает работать машина M 3 . Все остальные символы в программах машин M 1 и M 2 остаются неизменными. Машина M завершает работу в заключительном состоянии q 1 (в заключение остается осуществить сквозную перенумерацию состояний машины M).

Результат операции ветвления над машинами Тьюринга M 1 , M 2 и M3 обозначается следующим образом:

Для двухбуквенных машин Тьюринга (машин Тьюринга с двухбуквенным алфавитом) операция ветвления над произвольными машинами Тьюринга M1 , M2 и M3 обозначается следующим образом:

т.е. если при работе машины M1 в состоянии q 1 наблюдается символ a 0 , то управление передается на машину M2 , в противном случае - на машину M3.

3. Операция зацикливания.

Пусть M - машина Тьюринга с алфавитом A« {a 0 ,a 1 ,...,a p } и множеством состояний Q« {q 0 ,q 1 ,...,q n }.

Определение.

Результатом операции зацикливания будем называть машину Тьюринга, обозначаемую (i=0,2,3,...,n; j=0,1,2,...,p; s=0,2,3,...,n)

программа которой получается из программы машины M заменой в консеквент е команды q i a j ®q 1 a t r, rÎ{L,R,L}, t=0,1,2,...p, символа q 1 на символ q s .

2 .4 Варианты машины Тьюринга

Модель машины Тьюринга допускает расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями. Однако все эти машины являются полными по Тьюрингу и моделируются обычной машиной Тьюринга .

В качестве примера такой эквивалентности рассмотрим сведение любой МТ к МТ, работающая на полубесконечной ленте .

Теорема: Для любой машины Тьюринга существует эквивалентная машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте.

Доказательство:

Рассмотрим доказательство Ю. Г. Карпова . Доказательство этой теоремы конструктивное, то есть мы дадим алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Во-первых произвольно занумеруем ячейки рабочей ленты МТ, то есть определим новое расположение информации на ленте:

Рисунок 1.

Затем перенумеруем ячейки, причём будем считать, что символ «*» не содержится в словаре МТ:

Рисунок 1.

2.5 Вычислимость по Тьюрингу и разрешимость

Выше было доказано, что классы функций, вычислимых с помощью рекурсивных функций, машин Тьюринга или нормальных алгоритмов Маркова, совпадают. Это позволяет рассматривать понятие «вычислительный алгоритм» инвариантным к способу описания. Различия наблюдаются лишь в использовании алгоритмических объектов. Если для рекурсивных функций объектами являются числа и числовые функции, а процесс вычисления задан операторами суперпозиции, рекурсии, минимизации и итерации, то для машин Тьюринга такими объектами являются символы алфавитов внешней и внутренней памяти, а процесс вычисления задан протоколом, использующим функции выхода, перехода и перемещения головки. Для нормального алгоритма Маркова такими объектами являются слова или последовательности символов, а процесс вычисления задан правилами подстановки или продукциями, изменяющими состав и структуру исходной последовательности символов до искомого результата.

Арифметической (числовой) функцией называют функцию, областью значений которой является подмножество множества N, а областью определения - элемент множества N.

Для алгоритмических проблем типичной является ситуация, когда требуется найти алгоритм для вычисления числовой функции f(x 1 , x 2 , …, x n), зависящей от целочисленных значений аргументов x 1 , x 2 , …, x n .

Функцию f:N n →N назовем вычислимой , если существует алгоритм, позволяющий для любого набора значений ее аргументов вычислить значение функции (или указать, что функция на данном наборе не определена). Так как в определении вычислимой функции используется интуитивное понятие алгоритма, то часто вместо термина «вычислимая функция» используется термин «интуитивно вычислимая функция». Таким образом, массовая проблема имеет решение, если арифметическая функция, соответствующая этой проблеме, является интуитивно вычислимой.

Функция f(x 1 , x 2 , …, x n) называется эффективно вычислимой , если для заданных значений k 1 , k 2 , …, k n аргументов можно найти значение функции f(k 1 , k 2 , …,k n) с помощью некоторой имеющейся механической процедуры (алгоритма).

Вместо уточнения понятия алгоритма можно рассматривать уточнение понятия «вычислимая функция». Обычно при этом действуют по следующей схеме:

1. Вводят точно определенный класс функций.

2. Убеждаются, что все функции из этого класса являются вычислимыми.

3. Принимают гипотезу (тезис) о том, что класс вычислимых функций совпадает с введенным классом функций.

Функция называется вычислимой , если существует вычисляющий её алгоритм. «Вычислимость» является одним из основных понятий теории алгоритмов, инвариантном к вычисляемой функции и алгоритму. Различие между вычислимой функцией и алгоритмом – это различие между описанием функции и способом вычисления её значений при заданных значениях независимых аргументов.

Тезис Тьюринга . Всякий интуитивный алгоритм может быть реализован с помощью некоторой машины Тьюринга.

Из тезиса Тьюринга следует, что, если возникают алгоритмические проблемы, то их следует решать на базе построения машин Тьюринга, то есть достаточно формализованного понятия алгоритма. При этом в алгоритмических проблемах часто речь идет не о построении алгоритма, а о вычислимости некоторых специальным образом построенных функций.

Следует отметить, что в этих случаях достаточно использовать алфавит {0,|}, где 0 – пустой символ. Например, натуральные числа, включая 0, в этом алфавите кодируются следующим образом: 0 - |; 1 - ||; 2 -

N - ||…| (n + 1 раз). Частичная числовая n – местная функция f(x1 , x2 , …, xn) называется вычислимой по Тьюрингу , если существует машина М, вычисляющая ее в следующем смысле: 1. Если набор значений аргументов принадлежит области определения функции f , то машина М, начиная работу в конфигурации 0 |x1+1 0 |x2+1 … 0 |xn q1 |, где |x = ||… | (x раз) , и воспринимается самый правый символ, останавливается, заканчивая работу в конфигурации 0|yq0 |, где y = f(x1 , x2 , …, xn). 2. Если набор значений аргументов не принадлежит области определения функции f , то машина М, начиная работу в исходной конфигурации, работает бесконечно, то есть не приходит в заключительное состояние. Машина Тьюринга есть точное формальное определение алгоритма. С помощью этого понятия можно доказывать разрешимость или неразрешимость алгоритмических проблем. Если для решения задачи, принадлежащей единому классу задач, найден алгоритм вычисления, то о задаче говорят как об алгоритмически разрешимой проблеме . Иначе говоря, обязательным условием вычислимости или результативности вычисления является её алгоритмическая разрешимость. В этом смысле понятие «разрешимость» является также основным понятием в теории алгоритмов. Анализ трех типов моделей показывает, что основные свойства дискретности, детерминизма, массовости и результативности остаются неизменными для различных способов описания: Свойство дискретности: алгоритм состоит из отдельных элементарных действий, выполняемых по шагам; множество элементарных шагов, из которых состоит алгоритмический процесс, конечно и счетно. Свойство детерминированности: после каждого шага дается точное указание, как и в какой последовательности выполнять следующие шаги алгоритмического процесса. Свойство массовости: использование алгоритма допустимо для множества алгоритмических объектов данного типа и данного класса задач. Свойство результативности: остановка алгоритмического процесса обязательна после конечного числа шагов с указанием искомого результата. Однако , тезис невозможно доказать, так как он связан точным понятием вычислимости по Тьюрингу с неточным понятием интуитивно вычислимой функции.

ПРОБЛЕМА САМОПРИМЕНИМОСТИ

Согласно определению машины Тьюринга это тройка T = , в которой A - алфавит,Q – внутренние состояния машины,Q - программа, которая и отличает одну машину от другой. В общем случае (для всех машин) программа может выглядеть, например, так:

П: q i a a j a ® q r a a s a S t a , a = 1, 2, …, k , где S 1 - R, S 2 - L , S 3 - C . (*)

При этом можно считать, что существуют некоторые общие алфавиты A 0 и Q 0 , в которых записываются символы a и q для всех машин Тьюринга. Тогда символы q i a , a j a , q r a , a s a , S t a являются символами алфавитов A 0 и Q 0 .

Такой подход позволяет все машины Тьюринга пронумеровать, то есть каждой машине присвоить некоторый номер (код), присущий только этой машине, по которому можно было бы отличать ее от других машин. Здесь рассмотрим один из способов нумерации.

Геделева нумерация машин Тьюринга. Пусть p 1 , p 2 , p 3 , … - последовательность простых чисел, расположенная в порядке возрастания, например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Номером машины Тьюринга с программой (*) называется число

n(T) = .

Пример

Машина, реализующая функцию S (x ) = x + 1 , имеет программу в алфавите {0,  } . Номер этой программы с учетом того, что a 0 = 0 , a 1 = | будет число:.

n(T)= 2 1 3 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 0 19 0 23 1 29 3 .

Очевидно, что не все натуральные числа являются номерами машин Тьюринга. С другой стороны, если n – номер некоторой машины, в общих алфавитах, то ее программу можно однозначно восстановить по этому номеру.

Машина T , применимая к слову n (T) (то есть к коду своего собственного номера), называется самоприменимой .

Можно построить как самоприменимые машины, так и несамоприменимые машины. Например, машина из выданного примера – самоприменима. Машина T , у которой в правых частях программы (в теле таблицы) отсутствует символ останова, неприменима ни к какому слову, а, следовательно, и к слову n (T) .

Проблема самоприменимости состоит в следующем: указать алгоритм, который по любой машине Тьюринга устанавливал бы, самоприменима она или нет.

Согласно Т езису Тьюринга, такой алгоритм следует искать в виде машины Тьюринга. Эта машина должна быть применима к кодам номеров всех машин Тьюринга, и в зависимости от результата переработки кодов проверяемых машин, имела бы различные заключительные конфигурации.

Пусть, например, данная машина T применяется к коду n (T * ) . Если машина T * самоприменима, то заключительная конфигурация машины T имеет вид a" q 0 | B" , а в случае, если машина T * несамоприменима, то заключительная конфигурация машины T имеет вид a" q 0 0 B ". Здесь a", B", a", B" – слова.

Теорема Проблема самоприменимости алгоритмически неразрешима, то есть не существует машины Тьюринга, решающей эту проблему в указанном выше смысле.

Из теоремы следует, что не существует общего алгоритма решающего проблему самоприменимости. В конкретных же частных случаях такие алгоритмы могут существовать.

Воспользуемся результатами этой теоремы для доказательства неразрешимости проблемы применимости к начальному слову.

Проблема применимости к начальному слову состоит в следующем: создать алгоритм, который по машине T и слову X устанавливал бы, применима машина T к слову X или нет (иначе проблема останова).

В терминах машин Тьюринга, аналогично формулировке проблемы самоприменимости, эта проблема формулируется так: можно ли построить машину, которая была бы применима ко всем словам вида n (T)0X , где T произвольная машина, X – произвольное слово, и в случае, если машина T применима к слову X a" q 0 |B" , а в случае, если машина T не применима к слову Х , приводила бы к заключительной конфигурации a"q 0 0 B" . Здесь a" , B" иa", B" – произвольные слова.

Теорема Проблема применимости к начальному слову алгоритмически неразрешима, то есть не существует машины Тьюринга, решающей эту проблему в указанном выше смысле.

Как было вышесформулировано для проблемы самоприменимости первым предварительным шагом является нумерация. Поэтому ниже этот вопрос последовательно рассматривается и решается для алгоритмов и его трех основных типов алгоритмических моделей.

Нумерация алгоритмов

Нумерация алгоритмов играет важную роль в их исследовании и анализе. Поскольку любой алгоритм можно задать в виде конечного слова (представить в виде конечной последовательности символов некоторого алфавита), а множество всех конечных слов в конечном алфавите счётное, то множество всех алгоритмов также счётное. Это означает существование взаимно однозначного отображения между множеством натуральных чисел и множеством алгоритмов, то есть возможность присвоить каждому алгоритму номер.

Нумерация алгоритмов является одновременно и нумерацией всех алгоритмически исчисляемых функций, причем любая функция может иметь бесконечное количество номеров.

Существование нумерации позволяет работать с алгоритмами так же, как с числами. Особенно полезна нумерация в исследовании алгоритмов, работающих с другими алгоритмами.

Пусть имеется некая массовая проблема с множеством исходных объектов X и множеством искомых объектов Y. Для существования решения массовой проблемы необходимо, чтобы элементы множеств X и Y были конструктивными объектами. Следовательно, элементы этих множеств можно занумеровать натуральными числам. Пусть x∈ X – некий исходный объект, обозначим через n(x) его номер. Если в массовой проблеме по исходному объекту x требуется получить искомый объект y∈ Y с номером n(y), то определим арифметическую функцию f: Nn →N, такую что f(n(x))=n(y).

В качестве примера построения арифметических функций по массовым проблемам рассмотрим массовые проблемы.

1. Если дан массив ] натуральных чисел, то ему в соответствие можно поставить натуральное число 2x1, 3x2,... p(n)xn , где p(n) – n-е простое число. Рассмотрим для примера массив длины 5:

] 2x13x25x37x411x5.

Данная нумерация определяет арифметическую функцию f (например, f(73500) = f(22315372110) = 20315272113 = 4891425).

2. Любое рациональное число имеет некоторый натуральный номер. Нумерация множества искомых объектов проблемы тривиальна:

{«да», «нет»} a {1, 0}. Для данной массовой проблемы можно построить арифметическую функцию одного аргумента, воспользовавшись приемом из предыдущего примера , а можно рассмотреть функцию трех аргументов (три номера элементов исходной тройки).

3. Нумерация текстов программ может быть осуществлена следующим образом: любую программу можно воспринимать как запись числа в 256-ричной системе счисления (если для записи программы использовались символы таблицы ASCII).

Переход от массовой проблемы к арифметической функции позволяет свести вопрос о существовании решения массовой проблемы к вопросу существования эффективного способа вычислений значений арифметической функции по ее аргументу (аргументам).

Нумерация наборов чисел

В теории алгоритмов получил распространение прием, позволяющий сводить изучение функций от нескольких переменных к изучению функций одной переменной. Он основан на нумерации наборов чисел так, что имеется биективное соответствие между наборами чисел и их номерами, причем функции, определяющие по набору чисел его номер и по номеру сам набор чисел являются общерекурсивными. Например, для функции, содержащей две независимых переменных (x, y), это отображение h(x, y) может быть таким:

Рисунок 1.

Пусть пары (x, y) формируют частично упорядоченное множество N (2) . Если дано h(x, y) = n, то существует обратное отображение: x = h -1 1 (n) и y= h -1 2 (n), т. е. h(h -1 1 (n), h -1 2 (n)) = n. Это позволяет вычислять номер n для любой пары (x, y) и, наоборот, по номеру n вычислять значения x и y:

Используя эти правила, можно вычислять нумерацию троек h 2 (x, y, z) = h(h(x, y), z) = n и, наоборот, по номеру тройки - значения x, y, z. Например, если h 2 (x, y, z) = n, то z= h -1 2 (n), y= h -1 2 (h -1 1 (n)), x= h -1 1 (h -1 1 (n)), h 2 (x, y, z) = h(h(h -1 1 (h -1 1 (n)), h -1 2 (h -1 1 (n))), h -1 2 (n)). Тройки (x, y, z) формируют частично упорядоченное множество N (3) . Аналогично для произвольного количества чисел имеем:

h n-1 (x1, x2,…, xn)=h(h…h(h(x1, x2), x3)… x n-1), xn). Если h n-1 (x1, x2,…, xn)=m, то xn = h -1 2 (m), x n-1 =h -1 2 (h -1 1 (m)), ....................................., x2 = h -1 2 (h -1 1 (...h -1 1 (m)...)), x1 = h -1 2 (h (...h (m)...)).

Имея нумерацию множеств наборов N (1) , N (2) ,..., N (i) ,..., N(n , где N (i) – множество наборов (i) чисел, можно установить объединенную нумерацию произвольных наборов чисел M = N (1) N (2) ... N (i) .. N(n) , где M N. Для любого n N имеем h(x1,x2,..., xn )= h(h n−1 (x1,x2,..., xn), n −1).

Если h(x ,1x ,2..., x)n = m, то h n−1 (x ,1x ,2..., x)n = h -1 1 (m), n= h -1 2 (m)+1. Используя вышеприведенные формулы, можно восстановить значения x1, x2,…, xn.

Похожая информация.

Цель работы: получить практические навыки в записи алгоритмов с использованием композиции машин Тьюринга.

Теоретическая справка

Вышеперечисленные способы описания МТ практически можно использовать только для несложных алгоритмов, в противном случае описание становится слишком громоздким. Машины Тьюринга для сложных алгоритмов могут строиться с использованием уже имеющихся элементарных МТ и такое построение называется композицией МТ .

Опишем 4 основных способа композиции МТ:

Последовательная композиция (суперпозиция);

Параллельная композиция;

Разветвление

1. Последовательная композиция машин Тьюринга

Последовательной композицией или суперпозицией машин Тьюринга и

и
в алфавите А, называется машина M , вычисляющая функцию
.

Последовательная композиция изображается следующим образом:

и обозначается
или
.

2. Параллельная композиция машин Тьюринга

Параллельной композицией машин
и
, вычисляющих словарные функции
и
в алфавитах А и В, соответственно, называется машина M , вычисляющая словарную функцию . Здесь знак используется для разделения слов при параллельной композиции МТ.

Параллельная композиция МТ
и
изображается следующим образом:

и обозначается:
.

Фактически параллельная композиция двух МТ получает на вход слово, состоящее из 2-х слов в разных алфавитах, и на выходе выдает слово, также состоящее из 2-х слов, т.е. представляет собой две одновременно и независимо работающие машины. Для реализации параллельной композиции используется машина с двухэтажной лентой.

Машина с двухэтажной лентой работает следующим образом:

1) слово переписывается на второй этаж ленты и стирается на первом,

2) вычисляется
на первом этаже,

3) вычисляется
на втором этаже

4)
переписывается на первый этаж, возможно, со сдвигом.

Команда МТ с двухэтажной лентой записывается следующим образом:

где
– буквы, записанные соответственно на первом и втором этажах. Обозначим длины слов
, соответственно,
.

Продемонстрируем работу машины Тьюринга с двухэтажной лентой. В общем случае длины слов
и
не совпадают между собой, но для простоты изображения принимаем, что они равны. Тогда реализация пунктов 1)-4) на МТ с двухэтажной лентой выполняется таким образом:

Для реализации параллельной композиции n машин Тьюринга используется n – этажная лента.

3. Разветвление или условный переход в композиции машин Тьюринга

Если заданы машины Тьюринга
и
, вычисляющие словарные функции
и
, и машина
, вычисляющая некоторый предикат P ( ) с восстановлением (т.е. без стирания слова  ), то для реализации разветвления может быть построена машина Тьюринга
, вычисляющая функцию:

Разветвление машин Тьюринга на схемах композиции изображается следующим образом:

и обозначается
, здесь
– результат работы машины
, принимающий значения «1», если предикатP ( )= ”true ” и «0», если предикат P ( )= “false ” ,
– машина Тьюринга, реализуюшая копирование входного слова
.

4 . Цикл в композиции машин Тьюринга

Цикл в композиции МТ реализуется по тем же принципам, что и разветвление.

« пока P( )= ”true ” , выполнять
»,

где  – слово на ленте перед первым выполнением
ипосле очередного выполнения.

Для изображения цикла введем некоторые обозначения, пусть:

–машина Тьюринга, реализующая вычисление предиката P( ) ;

–МТ, реализующая копирование входного слова
;

–МТ, выполняемая в цикле и реализующая
;

–МТ, выполняемая при выходе из цикла и реализующая
.

Тогда, циклическая композиция машин Тьюринга или цикл, может быть изображена следующим образом:

Программирование с помощью композиций машин Тьюринга:

1) построение блок-схем сложных алгоритмов такой степени детализации, что их блоки соответствуют элементарным МТ;

2) построение элементарных МТ, реализующих простые блоки;

3) объединение элементарных МТ в композицию МТ.

Пример. Построить композицию МТ, реализующую
.

–машина Тьюринга, реализующая копирование входного слова;

–МТ, реализующая функцию установки константы ноль;

–МТ, вычисляющая предикат с восстановлением
;

– МТ, реализующая функцию выбора-того аргумента изаргументов;

–МТ, реализующая функцию уменьшение аргумента на 1 в унарном коде (вытирает крайний левый символ);

– МТ, выполняющая сложение двух чисел в унарном коде.

Следует отметить, что в любом случае необходимо в начале выполнения алгоритма выполнить проверку входных данных на корректность (например, равенство 0 аргумента при делении).

В предыдущем параграфе мы рассмотрели, каким образом «данная машина Тьюринга вычисляет функцию f (, …,)». Для этого нужно, чтобы каждое из чисел, …, было записано на ленту машины непрерывным массивом из соответствующего числа единиц, а сами массивы были разделены символом 0. Если функция f (, …, определена на данном наборе значений аргументов, то в результате на ленте должно быть записано подряд f (, …,) единиц. При этом мы не очень строго относились к тому, в каком начальном положении машина начинает работать (часто это было стандартное начальное положение), в каком завершает работу и как эта работа протекает.

В дальнейшем нам понадобится более сильное понятие вычислимости функции на машине Тьюринга - понятие правильной вычислимости.

Определение 5.1: Будем говорить, что машина Тьюринга правильно вычисляет функцию f (, …,), если начальное слово 0…0 она переводит в слово 0…0 и при этом в процессе работы не пристраивает к начальному слову новых ячеек на ленте ни слева, ни справа. Если же функция f не определена на данном наборе значений аргументов, то, начав работать из указанного положения, она никогда в процессе работы не будет надстраивать ленту слева.

Пример 5.1. Приведем программы машин Тьюринга, правильно вычисляющих функции S(x) = x+1 и O(x) = 0. Функция S(x) = x+1 осуществляет перевод: 0 => . Ее программа: 0 > П, 1 > 1П, 0 > 1, 1 > 1Л, 0 > 0. Функция O(x) = 0 осуществляет перевод: 0 => . Ее программа: 0 > 0П, 1 > 1П, 0 > 0Л, 1 > 0, 0 > 0Л, 0 > 0. Соответствующую машину Тьюринга обозначили О.

Пример 5.2. Построить две машины «левый сдвиг» и «правый сдвиг» . Первая из начального стандартного положения перерабатывает слово 0 в то же самое слово и останавливается, обозревая самую левую ячейку с нулем. Вторая машина из начального состояния, в котором обозревается левая ячейка с нулем, слово 0 перерабатывает в то же самое слово и останавливается, обозревая самую правую ячейку с нулем.

Программа машины: 0 > 0Л, 1 > 1Л, 0 > 0. Ясно, что программа машины получается из программы предыдущей машины заменой символа «Л» символом «П».

Композиция машин Тьюринга

Определение 6.1: Пусть заданы машины Тьюринга и, имеющие общий внешний алфавит {, …,} и алфавиты внутренних состояний {, …,} и {, …, } соответственно. Композицией (или произведением) машины на машину называется новая машина с тем же внешним алфавитом {, …,}, внутренним алфавитом {, …, …, } и программой, получающейся следующим образом. Во всех командах из, содержащих символ остановки, заменяем последний на. Все остальные символы в командах из остаются неизменными. В командах из символ остается неизменным, а все остальные состояния (i = 1, …, t) заменяем соответственно на. Совокупность всех так полученных команд образует программу машины-композиции.

Введенное понятие является удобным инструментом для конструирования машин Тьюринга. Покажем это на примере.

Пример 6.1. Сконструируем машины Тьюринга, правильно вычисляющие функции-проекторы (, …,) = (1? m ? n).

Рассмотрим сначала конкретный случай n=3, m=2, т.е. функцию (,) = . Мы должны переработать слово 0 в слово 0. Будем применять к начальной конфигурации последовательно сконструированные ранее машины Тьюринга, В, О:

Таким образом, функция (,) = вычисляется следующей композицией машин: ВОО= В.

Теперь мы можем представить себе алгоритм построения композиции машин, В, О для вычисления любой функции вида (, …,) = . С помощью правого сдвига, применив его m-1 раз, нужно сначала достичь массива:

Затем, двигаясь влево, транспонировать (с помощью В) массив с каждым соседним слева массивом, пока массив не выйдет на первое место:

Теперь нужно дойти до крайнего правого массива с помощью (n-1) - кратного применения правого сдвига:

Наконец, нужно стирать последовательно справа налево все массивы единиц, кроме первого:

Итак, данную функцию (правильно) вычисляет следующая машина Тьюринга.

Определение, функционирование и способы задания машины Тьюринга

Под машиной Тьюринга понимается некоторая гипотетическая (абстрактная) машина, состоящая из следующих частей (рис. 3.1.)

1) бесконечная в обе стороны лента, разбитая на ячейки, в каждой из которых может быть записан только один символ из алфавита , а также пустой символ l ;

2) управляющее устройство (рабочей головки), которое в каждый момент времени может находится в одном из состояний из множества . В каждом из состояний головка размещается напротив ячейки и может считывать (обозревать) или записывать в нее букву из алфавита А .

Рис. 3.1. Машина Тьюринга

Функционирование МТ состоит из последовательности элементарных шагов (тактов). В каждом шаге выполняются следующие действия:

1. рабочая головка считывает (обозревает) символ ;

2. в зависимости от своего состояния и обозреваемого символа головка вырабатывает символ и записывает его в обозреваемую ячейку (возможно =) ;

3. головка перемещается на одну ячейку вправо (R) , влево (L) или остается на месте (E) ;

4. головка переходит в другое внутреннее состояние . (возможно =).

Состояние называется начальным, - заключительным. При переходе в заключительное состояние машина останавливается.

Полное состояние МТ называется конфигурацией . Это распределение букв по ячейкам ленты, состояние рабочей головки и обозреваемая ячейка. Конфигурация в такте t записывается в виде: , где - подслово слева от обозреваемой ячейки, - буква в обозреваемой ячейке, - подслово справа.

Начальная конфигурация и конечная называются стандартными.

Для описания работы МТ существует 3 способа:

Система команд вида

Функциональная таблица;

Граф (диаграмма) переходов.

Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Построить МТ, реализующую конкатенацию двух слов в алфавите . Слова на ленте разделены знаком * . Начальная конфигурация является стандартной.

Система команд МТ имеет вид:

В состоянии осуществляется движение головки вправо до пустого символа.

Самый правый символ стирается.

Звездочка стирается, если первое слово пустое.

Правое слово посимвольно сдвигается влево на одну позицию.

Переход в стандартную конечную конфигурацию.

Функциональная таблица

a	b	*	l

			-
			-
			-
		-

Прочерки в таблице означают, что символ l не может быть встречен в состояниях .

a/aL b/bL

Диаграмма переходов имеет вид:

a/aR b/bR */*R

Стандартная заключительная конфигурация.

Вычисление на МТ словарной функции будем понимать следующим образом. Пусть в начальной конфигурации на ленте записано слово a . Если значение определено, то конечного числа шагов (тактов) машина должна перейти в заключительную конфигурацию, в которой на ленте записано слово . В противном случае МТ должна работать бесконечно.

С помощью МТ можно описывать выполнение арифметических операций над числами. При этом числа представляются на ленте как слова в алфавите, состоящем из цифр какой-нибудь системы счисления, и разделяющихся специальным знаком, не входящем данный алфавит, например, * . Наиболее употребительной системой является унарная, состоящего из одного символа –1. Число Х на ленте записывается словом , (или сокращенно ) в алфавите А={1} .

Числовая функция правильно вычислима (или просто вычислима) по Тьюрингу, если существует МТ, которая переводит конфигурацию в конфигурацию , когда =y , или работает бесконечно, когда не определена.

Пример 2. Операция сложения двух чисел в унарном коде.

Начальная конфигурация:

Конечная конфигурация: т.е. сложение фактически сводится к приписыванию числа b к числу a . Для этого первая 1 стирается, а * заменяется на 1.

Приведем описание МТ в виде функциональной таблицы:


		*	l
			-
			-
		-

Вышеперечисленные способы описания МТ практически можно использовать только для несложных алгоритмов, т.к. для сложных описание становится слишком громоздким. Точно так же описание рекурсивных функций только с помощью простейших функций и операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации было бы чрезвычайно громоздким. Поэтому примитивная или частичная рекурсивность функции доказывается с использованием других функций, примитивная или частичная рекурсивность которых уже доказана.

Аналогично этому, машины Тьюринга для сложных алгоритмов могут строиться с использованием уже имеющихся МТ. Такое построение называется композицией МТ.

Опишем 4 основных способа композиции МТ:

Последовательная композиция (суперпозиция);

Параллельная композиция;

Разветвление

Последовательной композицией машин и , вычисляющих словарные функции и в алфавите А , называется машина Т , вычисляющая функцию . Последовательная композиция изображается следующим образом:

и обозначается .

Последовательная композиция используется обычно для описания линейных участков алгоритмов.

Доказательство теоремы о возможности построения машины T , являющейся последовательной композицией двух произвольных машин и осуществляется путем отождествления заключительного состояния с начальным состоянием .

Пример 3. Построить алгоритм умножения 2*Х в унарном коде с использованием машины копирования , переводящей слово a в слово a*a и машины сложения . Искомая МТ выглядит следующим образом:

Параллельной композицией машин и , вычисляющих словарные функции и в алфавитах А и В соответственно, называется машина Т , вычисляющая словарную функцию . Здесь знак используется для разделения слов при параллельной композиции МТ.

и обозначается: .

Фактически параллельная композиция двух МТ получает на вход слово, состоящее из 2-х слов в разных алфавитах и на выходе выдает слово, состоящее из 2-х слов, т.е. представляет собой две одновременно и независимо работающие машины.

Для реализации параллельной композиции используется машина с двухэтажной лентой. Необходимость в этом вызвана тем, что вычисление и во времени происходит последовательно, и , вычисленная, например, первой, может потребовать больше места, чем a, и испортить слово b. Машина с двухэтажной лентой работает следующим образом: слово b переписывается на второй этаж и стирается на первом, вычисляется на первом этаже, вычисляется на втором этаже и затем переписывается на первый этаж, возможно, со сдвигом.

Для реализации параллельной композиции n машин используется n– этажная лента.

Команда МТ с двухэтажной лентой записывается следующим образом:, где - буквы, записанные соответственно на первом и втором этажах.

Пример 4 . Реализовать параллельную композицию машин и , вычисляющих функции в двоичной системе счисления и a + b в унарной системе.

Входное слово имеет вид: .

Опишем работу МТ системой команд:

Движение вправо до слова b

Перезапись слова b на второй этаж

Движение влево до слова a

Прибавление 1 к числу Х.

Движение вправо к слову b.

Перепись b на 1-й этаж с одновременным сложением чисел a и b .Т соответственно. Команды в фигурных скобках, добавленные к системе команд

Конечное состояние всей МТ.

Следует отметить, что во всех случаях в начале алгоритма нужно вставлять проверку исходных данных на особые значения (чаще всего на 0), несоблюдение этого требования может привести к зацикливанию.

Композиция МТ может применяться для построения сложных алгоритмов. Возникает вопрос: всякий ли алгоритм можно реализовать в виде композиции МТ? Ответ на этот вопрос дает Тезис Тьюринга , аналог тезиса Черча: всякий алгоритм может быть реализован с помощью машин Тьюринга и наоборот, всякий процесс, реализуемый машиной Тьюринга, является алгоритмом.

Тезис Тьюринга не является теоремой, доказать его невозможно, т.к. он содержит неформальное понятие « алгоритм ». Однако многолетняя математическая практика является надежным подтверждением этого тезиса: за 50 лет не было найдено алгоритма в интуитивном смысле, который нельзя было бы реализовать с помощью машин Тьюринга.